Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²+ax，a∈R
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線的方程；
（2）若函數(shù)f（x）-ax+m=0在[}上有兩個不等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸交于不同的點A（x₁，0），B（x₂，0）且0＜x₁＜x₂，求證：f′（px₁+qx₂）＜0（其中實數(shù)p，q滿足0＜p≤q，p+q=1）

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=2時，f（x）=2lnx-x²+2x，，由此能求出函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線的方程．
（2）方程f（x）-ax+m=0即為2lnx-x²+m=0，令g（x）=2lnx-x²+m，則g′（x）==，由此能求出函數(shù)f（x）-ax+m=0在[}上有兩個不等的實數(shù)根時，實數(shù)m的取值范圍
（3）由函數(shù)f（x）的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x₁，0），B（x₂，0），2lnx-x²+ax=0的兩個根為x₁，x₂，知，由此能夠證明f′（px₁+qx₂）＜0．
解答：解：（1）當a=2時，f（x）=2lnx-x²+2x，
，
切點坐標為（1，1），
切線的斜率k=f′（1）=2，
∴切線方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．
（2）方程f（x）-ax+m=0即為2lnx-x²+m=0，
令g（x）=2lnx-x²+m，
則g′（x）==，
∵x∈[]，∴g′（x）=0時，x=1．
當時，g′（x）＞0；
當1＜x＜e時，g′（x）＜0，
故函數(shù)g（x）在x=1取得極大值g（1）=m-1，
又g（）=m-2-，g（e）=m+2-e²，
g（e）-g（）=4-e²+＜0，
則g（e）＜g（），
故函數(shù)g（x）在[]上的最小值是g（e）．
方程f（x）-ax+m=0在[，e]上有兩個不相等的實數(shù)根，
則有，
解得1＜m≤2+，
故實數(shù)m的取值范圍是（1，2+]．
（3）∵函數(shù)f（x）的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x₁，0），B（x₂，0），
2lnx-x²+ax=0的兩個根為x₁，x₂，
則，
兩式相減，得a=（x₁+x₂）-，
f（x）=2lnx-x²+ax，
，
則-2（px₁+qx₂）+（x₁+x₂）-
=-2（px₁+qx₂）+（x₁+x₂）-
=-（2q-1），（∵p+q=1）
=+（2p-1）（x₂-x₁），（*）
∵0＜p≤q，p+q=1，則2p≤1，
∵0＜x₁＜x₂，∴（2p-1）（x₂-x₁）≤0．
下面證明，
即證明，
令t=，∵0＜x₁＜x，∴0＜t＜1，
即證明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立．
∵u′（t）==
=
=，
∵0＜p≤q，∴，
∵0＜t＜1，∴u′（t）＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函數(shù)，
則u（t）＜u（1）=0，
∴，
故（*）＜0，
所以f′（px₁+qx₂）＜0．
點評：本題考查切線方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．