Question

已知函數(shù)f（x）=x²+1，x∈[0，1]的反函數(shù)為f^-1（x），則函數(shù)y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的值域是（　�。�

• A、[0，1]
• B、[1，1+

  3

  ]
• C、[1，2]
• D、{1}

Answer 1

分析：本題考查反函數(shù)的概念、反函數(shù)的求法、函數(shù)式的化簡(jiǎn)、函數(shù)值域的求法等相關(guān)知識(shí)．
根據(jù)y=x²+1及x∈[0，1]可得f^-1（x）的解析式，由此函數(shù)y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的解析式可求，根據(jù)函數(shù)y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）成立的條件可以確定x的取值范圍，進(jìn)而求得值域．

解答：解：由y=x²+1解得：x=±

y-1

∵x∈[0，1]∴x=

y-1

且y∈[1，2]
∴原函數(shù)的反函數(shù)為f^-1（x）=

x-1

 x∈ [1，2]
由y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）
=(

x-1

) 2+

2x-1

=x+

2x-1

-1
∵函數(shù)y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的定義域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1≤x≤2 1≤2x≤2

解得：x∈{1}，此時(shí)y∈{1}，
即函數(shù)y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的值域是{1}．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題雖小，但綜合性強(qiáng)，展示了函數(shù)概念的深層次的問(wèn)題，函數(shù)的值域是由函數(shù)的解析式和函數(shù)的定義域所確定，在本題體現(xiàn)的尤其突出．易錯(cuò)點(diǎn)表現(xiàn)在求函數(shù)y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的定義域，它是由

1≤x≤2 1≤2x≤2

所確定．