Question

【題目】正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景，生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來(lái)描述.例如，同一種生物體的身長(zhǎng)、體重等指標(biāo).隨著“綠水青山就是金山銀山”的觀(guān)念不斷的深入人心，環(huán)保工作快速推進(jìn)，很多地方的環(huán)境出現(xiàn)了可喜的變化.為了調(diào)查某水庫(kù)的環(huán)境保護(hù)情況，在水庫(kù)中隨機(jī)捕撈了100條魚(yú)稱(chēng)重.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，魚(yú)的重量x（單位：kg）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知.

（Ⅰ）若從水庫(kù)中隨機(jī)捕撈一條魚(yú)，求魚(yú)的重量在內(nèi)的概率；

（Ⅱ）（�。�從捕撈的100條魚(yú)中隨機(jī)挑出6條魚(yú)測(cè)量體重，6條魚(yú)的重量情況如表.

重量范圍（單位：kg）
條數(shù)	1	3	2

為了進(jìn)一步了解魚(yú)的生理指標(biāo)情況，從6條魚(yú)中隨機(jī)選出3條，記隨機(jī)選出的3條魚(yú)中體重在內(nèi)的條數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（ⅱ）若將選剩下的94條魚(yú)稱(chēng)重做標(biāo)記后立即放生.兩周后又隨機(jī)捕撈1000條魚(yú)，發(fā)現(xiàn)其中帶有標(biāo)記的有2條.為了調(diào)整生態(tài)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)種群的優(yōu)化，預(yù)備捕撈體重在內(nèi)的魚(yú)的總數(shù)的40%進(jìn)行出售，試估算水庫(kù)中魚(yú)的條數(shù)以及應(yīng)捕撈體重在內(nèi)的魚(yú)的條數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0.22；（Ⅱ）（ⅰ）分布列見(jiàn)解析，1.5；（ⅱ）47000，4136.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性有，可得出答案.
（Ⅱ）（ⅰ）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，求出各種情況的概率，可得到其概率分布列，再由公式求出數(shù)學(xué)期望.
（ⅱ）設(shè)水庫(kù)中共有N條魚(yú)，根據(jù)題意有，先求出N，又由（Ⅰ）可知，從而可求出體重在內(nèi)的魚(yú)的條數(shù).

（Ⅰ）由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可知，

.

（Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，

；

；

；

，

所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P

數(shù)學(xué)期望.

（ii）設(shè)水庫(kù)中共有N條魚(yú)，根據(jù)題意有

則（條），

所以估計(jì)水庫(kù)中有47000條魚(yú).

由（Ⅰ）可知，

則體重在內(nèi)的魚(yú)應(yīng)捕撈（條）