Question

已知函數(shù)f(x)=

a

x

+lnx-1，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在P（1，y₀）處的切線平行于直線y=-x+1，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，且對x∈（0，2e]時，f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)曲線y=f（x）在P（1，y₀）處的切線平行于直線y=-x+1，求出函數(shù)的字母系數(shù)，對函數(shù)求導，使得導函數(shù)大于0，在定義域中求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）現(xiàn)出函數(shù)的最大值，對函數(shù)求導求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，看出函數(shù)的最大值，根據(jù)在自變量的定義域內(nèi)函數(shù)大于0恒成立，根據(jù)函數(shù)的思想求出a的值．

解答：解：(1)直線y=-x+1斜率kAB=1，函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f′(x)=-

a

x2

+

1

x

f′(1)=-a+1=-1，即a=2 ∴f(x)= 2 x +lnx-1，f′(x)=- 2 x2 + 1 x = x-2 x2 ∵f(x)的定義域為(0，+∞)，f′(x)=- 2 x2 + 1 x = x-2 x2 由f′(x)＞0得x＞2，由f′(x)＜0得0＜x＜2． ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間(2，+∞)，單調(diào)減區(qū)間是(0，2)

（2）∵a＞0，f（x）＞0，對x∈（0，2e]恒成立，
即

a

x

+lnx-1＞0對x∈(0，2e]恒成立
設a＞x（1-lnx）=x-xlnx，x∈（0，2e]，
g^′（x）=1-lnx-1=-lnx
當0＜x＜1時，g^′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
當1＜x＜2e，g^′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
∴當x=1時，函數(shù)在（0，2e]上取得最大值，
∴g（x）≤g（1）=1
∴a的取值范圍是（1，+∞）

點評：本題考查函數(shù)的綜合題目，解題的關鍵是根據(jù)函數(shù)的導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，本題還要注意恒成立問題．