Question

曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離的積等于常數(shù)a²（a＞1）的點(diǎn)的軌跡．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)；
②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；
③若點(diǎn)P在曲線C上，則△F₁PF₂的面積不大于a²．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離的積等于常數(shù)a²（a＞1），利用直接法，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），及可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然后由方程特點(diǎn)即可加以判斷．
解答：解：對(duì)于①，由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則利用題意及兩點(diǎn)間的距離公式的得：?[（x+1）²+y²]•[（x-1）²+y²]=a⁴（1）將原點(diǎn)代入驗(yàn)證，此方程不過原點(diǎn)，所以①錯(cuò)；
對(duì)于②，把方程中的x被-x代換，y被-y 代換，方程不變，故此曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．②正確；
對(duì)于③，由題意知點(diǎn)P在曲線C上，則△F₁PF₂的面積，
由（1）式平方化簡(jiǎn)的：y⁴+[（x+1）²+（x-1）²]y²+（x²-1）²-a⁴=0⇒（舍）  
把三角形的面積式子平方得： 對(duì)于（2）
 令⇒
代入（2）得=≤，
故可知a² 所以③正確．
故答案為：②③
點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了利用直接法求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并化簡(jiǎn)，利用方程判斷曲線的對(duì)稱性及利用解析式選擇換元法求出值域．