Question

已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)．直線與直線分別與軸交于點(diǎn)，試問(wèn)以線段為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）橢圓的方程是；（2）線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)．

試題分析：（1）求橢圓的方程，已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，故可用待定系數(shù)法，利用離心率可得，利用過(guò)點(diǎn)，可得，再由，即可解出，從而得橢圓的方程；（2）這是探索性命題，可假設(shè)以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)，則，故需表示出的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)，設(shè)，分別寫出直線與的方程，得的坐標(biāo)，由，得，因此由得，則式方程的根，利用根與系數(shù)關(guān)系得，，，代入即可．
試題解析：（1）由題意得，解得，．
所以橢圓的方程是．                         4分
（2）以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn).
由得．
設(shè)，則有，．
又因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)．
由題意可知直線的方程為，故點(diǎn)．
直線的方程為，故點(diǎn)．
若以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)，則等價(jià)于恒成立．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240426022231022.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以恒成立．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042602270990.png" style="vertical-align:middle;" />，
，
所以．解得．
故以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)．         14分