Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=5^0.5f（5^0.5），b=（log_π3）f（log_π3），c=（log₃

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）f（log₃

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），則a，b，c的大小關(guān)系是

b＜a＜c

．

Answer 1

分析：由已知式子f（x）+xf′（x），可以聯(lián)想到：（uv）′=u′v+uv′，從而可設(shè)h（x）=xf（x），
有：h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以利用h（x）的單調(diào)性問題很容易解決．

解答：解：構(gòu)造函數(shù)h（x）=xf（x），
由函數(shù)y=f（x）以及函數(shù)y=x是R上的奇函數(shù)可得h（x）=xf（x）是R上的偶函數(shù)，
又當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
所以函數(shù)h（x）在x∈（-∞，0）時(shí)的單調(diào)性為單調(diào)遞減函數(shù)；
所以h（x）在x∈（0，+∞）時(shí)的單調(diào)性為單調(diào)遞增函數(shù)．
又因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，從而h（0）=0
因?yàn)閘og₃

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=-3，所以f（log₃

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）=f（-3）=-f（3），
由0＜log_π3＜1＜1＜5^0.5＜2
所以h（log_π3）＜h（5^0.5）＜h（3），即：b＜a＜c
故答案為：b＜a＜c．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的考點(diǎn)與方法有：1）所有的基本函數(shù)的奇偶性；2）抽象問題具體化的思想方法，構(gòu)造函數(shù)的思想；3）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：（uv）′=u′v+uv′；4）指對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象；5）奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性：奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；6）奇偶函數(shù)的性質(zhì)：奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇（同號(hào)得正、異號(hào)得負(fù)）；奇+奇=奇；偶+偶=偶．
本題結(jié)合已知構(gòu)造出h（x）是正確解答的關(guān)鍵所在．