Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，左焦點為F，左準(zhǔn)線與x軸的交點為M，

OM

=4

OF

．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）過左焦點F且斜率為

2

的直線與橢圓交于A、B兩點，若

OA

•

OB

=-2，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）先求出左焦點F、左準(zhǔn)線與x軸的交點M的坐標(biāo)，由

OM

=4

OF

，得出a和c的關(guān)系，從而求出離心率的值．
（2）點斜式設(shè)出直線AB的方程，由離心率的值設(shè)出橢圓的方程，將這兩個方程聯(lián)立方程組，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系，由

OA

•

OB

=-2解出橢圓方程中的待定系數(shù)，從而求出橢圓的方程．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，F(xiàn)(-c，0)，M(-

a2

c

，0)．
由

OM

=4

OF

，有(-

a2

c

，0)=4(-c，0)．（3分）
則有

a2

c

=4c，即

c2

a2

=

1

4

，∴e=

c

a

=

1

2

．（6分）
（2）設(shè)直線AB的方程為y=

2

(x+c)，直線AB與橢圓的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（I）可得a²=4c²，b²=3c²．
由

3x2+4y2=12c2 y= 2 (x+c).

 消去y，得11x²+16cx-4c²=0．（9分）
故 x1+x2=-

16c

11

，x1x2=-

4

11

c2． 
∵

AB

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2，
且y₁•y₂=2（x₁+c）（x₂+c）=2x₁x₂+2c（x₁+x₂）+2c²．
∴3x₁x₂+2c（x₁+x₂）+2c²=-2．（11分）
即-

12

11

c2-

32

11

c2+2c2=-2，∴c²=1．則a²=4，b²=2．
橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．（13分）

點評：本題考查直線方程、橢圓的方程、直線和橢圓的位置關(guān)系，兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．