Question

【題目】已知橢圓C： ，F(xiàn)1 ， F2分別為左右焦點，在橢圓C上滿足條件 的點A有且只有兩個
（1）求橢圓C的方程
（2）若過點F2的兩條相互垂直的直線l1與l2 ， 直線l1與曲線y2=4x交于兩點M、N，直線l2與橢圓C交于兩點P、Q，求四邊形PMQN面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在橢圓C上滿足條件 的點A有且只有兩個，

∴A點為橢圓短軸兩端點，則b=c=1，∴a2=b2+c2=2，

則橢圓C的方程為：

（2）解：令M（x1，y1），N（x2，y2），當直線l1的斜率不存在時，直線l2的斜率為0，

求得|MN|=4，|PQ|=2 ，則 ；

當直線l1的斜率存在時，設直線方程為y=k（x﹣1）（k≠0），

聯(lián)立 ，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．

則 ，

|MN|= ．

∵l1⊥l2，∴直線l2的方程：y=﹣ ．

令P（x3，y3），Q（x4，y4），

聯(lián)立 ，得（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0．

．

∴|PQ|= = ．

∴ = ．

令t=1+k2（t＞1），

∴ ．

∴四邊形PMQN面積的取值范圍是

【解析】（1）由已知可得b=c=1，再由隱含條件求得a，則橢圓方程可求；（2）當直線l1的斜率不存在時，直線l2的斜率為0，求出|MN|、|PQ|，求出四邊形的面積；當直線l1的斜率存在時，設直線方程為y=k（x﹣1）（k≠0），得到直線l2的方程：y=﹣ ．分別聯(lián)立直線方程與拋物線方程和橢圓方程，利用弦長公式求出|MN|、|PQ|，代入四邊形面積公式，利用換元法求得四邊形PMQN面積的取值范圍．