Question

若對可導函數(shù)f（x），g（x），當x∈[0，1]時恒有f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），若已知α，β 是一銳角三角形的兩個內(nèi)角，且α≠β，記F′（x）=

f(x)

g(x)

(g(x)≠0)，則下列不等式正確的是（　�。�

• A、F（sinα）＜F（cosβ）
• B、F（sinα）＜F（sinβ）
• C、F（cosα）＞F（cosβ）
• D、F（cosα）＜F（cosβ）

Answer 1

分析：由“f′（x）g（x）小于f（x）．g′（x）”想到用導數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，再用單調(diào)性定義來確定選項．

解答：解：∵記 F(x)=

f(x)

g(x)

(g(x)≠0)
∴F′(x)=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g(x)2

＜0
∴F（x）在[0，1]上是減函數(shù)
∵α，β是一銳角三角形的兩個內(nèi)角
∴0＜

π

2

-β＜α＜

π

2

∴sin(

π

2

-β)＜sinα
∴cosβ＜sinα
∴F（sinα）＜F（cosβ）
故選A．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用，判斷時可用定義也可用導數(shù)，要靈活選擇．