Question

某人在山頂觀察地面上相距2 500 m的A、B兩個(gè)目標(biāo)，測得目標(biāo)A在南偏西57°，俯角為30°，同時(shí)測得B在南偏東78°，俯角是45°，求山高（設(shè)A、B與山底在同一平面上，計(jì)算結(jié)果精確到0.1 m）．

Answer 1

分析：設(shè)山高PQ，則，∠PAQ和∠PBQ可知，然后在△APQ、△BPQ中表示出AQ，BQ，求∠AQB和AB，最后利用余弦定理求得關(guān)于h的一元二次方程求得h．

解答：解：畫出示意圖（如圖所示）
設(shè)山高PQ=h，則△APQ、△BPQ均為直角三角形，
在圖（1）中，∠PAQ=30°，∠PBQ=45°．
∴AQ=

PQ

tan30°

=

3

h，BQ=

PQ

tan45°

=h．
在圖（2）中，
∠AQB=57°+78°=135°，AB=2500，
所以由余弦定理得：
AB²=AQ²+BQ²-2AQ•BQcos∠AQB，
即2500²=（

3

h）²+h²-2

3

h•h•cos135°=（4+

6

）h²，
∴h=

2500

4+ 6

≈984.4（m）．
答：山高約984.4m．

點(diǎn)評：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．作為解決實(shí)際問題而言，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型是正確解題的重要前提．