【題目】已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,并解不等式;
(3)設(shè),當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)證明見解析,不等式的解集為(3)
【解析】
(1)根據(jù)奇函數(shù)定義,由,即可求解;
(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義,設(shè)是上任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且,比較的大小關(guān)系,即可證明函數(shù)單調(diào)性,再由,利用單調(diào)性解不等式.
(3)由(1)中解析式,寫出解析式,運(yùn)用換元法,設(shè),則恒成立,可轉(zhuǎn)化成,恒成立,根據(jù)恒成立思想,轉(zhuǎn)化不等式,即可求解.
解:(1)由為定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù),
,得;經(jīng)檢驗(yàn)適合題意
(2)由(1)知,.
設(shè)是上任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且,則
由是定義在上的增函數(shù),又,;
由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知,,,;
于是,即.
所以,函數(shù)是定義在上的減函數(shù).
;
是定義在上的減函數(shù),∴上式等價(jià)于,即;
∴不等式的解集為.
(3).
設(shè),則,恒成立,
即,恒成立,
整理得,,恒成立.
設(shè),,
則,若滿足題意需,即;
所以,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】微信是騰訊公司推出的一種手機(jī)通訊軟件,它支持發(fā)送語音短信、視頻、圖片和文字,一經(jīng)推出便風(fēng)靡全國,甚至涌現(xiàn)出一批在微信的朋友圈內(nèi)銷售商品的人(被稱為微商).為子調(diào)查每天微信用戶使用微信的時(shí)間,某經(jīng)銷化妝品的微商在一廣場隨機(jī)采訪男性、女性用戶各50名,將男性、女性使用微信的時(shí)間分成5組:,,,,分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)女性頻率分布直方圖估計(jì)女性使用微信的平均時(shí)間;
(2)若每天再微信超過4個(gè)小時(shí)的用戶列為“微信控”,否則稱其為“非微信控”,請你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“微信控”與“性別有關(guān)”?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位為促進(jìn)職工業(yè)務(wù)技能提升,對該單位120名職工進(jìn)行一次業(yè)務(wù)技能測試,測試項(xiàng)目共5項(xiàng).現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了10名職工的測試結(jié)果,將它們編號后得到它們的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表(表1)所示(“√”表示測試合格,“×”表示測試不合格).
表1:
編號\測試項(xiàng)目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
規(guī)定:每項(xiàng)測試合格得5分,不合格得0分.
(1)以抽取的這10名職工合格項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的頻率代替每名職工合格項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的概率.
①設(shè)抽取的這10名職工中,每名職工測試合格的項(xiàng)數(shù)為,根據(jù)上面的測試結(jié)果統(tǒng)計(jì)表,列出的分布列,并估計(jì)這120名職工的平均得分;
②假設(shè)各名職工的各項(xiàng)測試結(jié)果相互獨(dú)立,某科室有5名職工,求這5名職工中至少有4人得分不少于20分的概率;
(2)已知在測試中,測試難度的計(jì)算公式為,其中為第項(xiàng)測試難度,為第項(xiàng)合格的人數(shù),為參加測試的總?cè)藬?shù).已知抽取的這10名職工每項(xiàng)測試合格人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測難度如下表(表2):
表2:
測試項(xiàng)目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
實(shí)測合格人數(shù) | 8 | 8 | 7 | 7 | 2 |
定義統(tǒng)計(jì)量,其中為第項(xiàng)的實(shí)測難度,為第項(xiàng)的預(yù)測難度().規(guī)定:若,則稱該次測試的難度預(yù)測合理,否則為不合理,測試前,預(yù)估了每個(gè)預(yù)測項(xiàng)目的難度,如下表(表3)所示:
表3:
測試項(xiàng)目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
預(yù)測前預(yù)估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中錯(cuò)誤的是( )
A. 先把高二年級的2000名學(xué)生編號為1到2000,再從編號為1到50的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生,其編號為,然后抽取編號為,,的學(xué)生,這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法;
B. 獨(dú)立性檢驗(yàn)中,越大,則越有把握說兩個(gè)變量有關(guān);
C. 若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1;
D. 若一組數(shù)據(jù)1、a、3的平均數(shù)是2,則該組數(shù)據(jù)的方差是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題:
①函數(shù)是奇函數(shù)且在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù);
②函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則;
③函數(shù),則的解集為;
④函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
其中正確命題的序號為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人射擊,已知甲每次擊中目標(biāo)的概率為,乙每次擊中目標(biāo)的概率為.
(1)兩人各射擊一次,求至少有一人擊中目標(biāo)的概率;
(2)若制定規(guī)則如下:兩人輪流射擊,每人至多射擊2次,甲先射,若有人擊中目標(biāo)即停止射擊.
①求乙射擊次數(shù)不超過1次的概率;
②記甲、乙兩人射擊次數(shù)和為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件,為了估計(jì)以后每月的產(chǎn)量,以這三個(gè)月的產(chǎn)量為依據(jù),用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量,與月份的關(guān)系,模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)、、為常數(shù))已知四月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件,請問用以上哪個(gè)函數(shù)作模擬函數(shù)較好?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有個(gè)零件,已知其中有個(gè)正品、個(gè)次品.現(xiàn)隨機(jī)地逐一檢查,則恰在檢查第個(gè)零件時(shí),查出所有次品的概率為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)若,如果對任意,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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