已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率為．
(1)求橢圓C的方程：
(2)過點(diǎn)Q(1,0)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P(4,3),記直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,當(dāng)k1·k2最大時(shí),求直線l的方程．
(1) .(2).

試題分析：(1) 由已知建立方程組 ①  ②， 即得解.
(2)兩種思路，一是討論①當(dāng)直線的斜率為0，②當(dāng)直線的斜率不為0的情況；二是討論①當(dāng)直線垂直于x軸，②當(dāng)直線與x軸不垂直的情況.兩種情況的不同之處在于，直線方程的靈活設(shè)出.
第一種思路可設(shè)直線的方程為, 第二種思路可設(shè)直線的方程為.兩種思路下，都需要聯(lián)立方程組，應(yīng)用韋達(dá)定理，簡(jiǎn)化解題過程.
本題是一道相當(dāng)?shù)湫偷念}目.
試題解析：(1) 由已知可得，所以    ①               1分
又點(diǎn)在橢圓上，所以    ②               2分
由①②解之，得.
故橢圓的方程為.                                   4分
(2)解法一：①當(dāng)直線的斜率為0時(shí),則;       5分
②當(dāng)直線的斜率不為0時(shí),設(shè),,直線的方程為,
將代入,整理得.        7分
則,                                 9分
又,,
所以, 

                                 11分
令,則
當(dāng)時(shí)即時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
 或
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí), 取得最大值.               13分
由①②得,直線的方程為.                  14分
解法二：①當(dāng)直線垂直于x軸時(shí),則;
②當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí),設(shè),,直線的方程為,
將代入,整理得.
則
又,,
所以,  
令由得或
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)最大，所以直線的方程為.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知圓,若橢圓的右頂點(diǎn)為圓的圓心，離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，與圓分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓E的中心是原點(diǎn)O，其右焦點(diǎn)為F(2，0)，過x軸上一點(diǎn)A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點(diǎn),且的最大值為.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè),過點(diǎn)P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點(diǎn)M,試問M,F,Q是否共線，若共線請(qǐng)證明；反之說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為原點(diǎn).
（1）如圖1，點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且，求點(diǎn)到軸的距離；

（2）如圖2，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓（）的右焦點(diǎn)為，離心率為.
（Ⅰ）若，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，分別為線段的中點(diǎn). 若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某校同學(xué)設(shè)計(jì)一個(gè)如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”，其中、是過拋物線焦點(diǎn)的兩條弦，且其焦點(diǎn)，，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，記，其中為銳角．

(1)求拋物線方程；
(2)求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的左右兩焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一點(diǎn)，且在軸上方，．

（1）求橢圓的離心率的取值范圍；
（2）當(dāng)取最大值時(shí)，過的圓的截軸的線段長(zhǎng)為6，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，過橢圓右準(zhǔn)線上任一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．試探究直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；否則，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則分別以線段PF1，A1A2為直徑的兩個(gè)圓的位置關(guān)系為（   ）
A．相交B．相切C．相離D．以上情況都有可能

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線的中心，是雙曲線右支上的點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為，且圓與軸相切于點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為，若為雙曲線的離心率，則(   )
A．B．
C．D．與關(guān)系不確定

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