(2011•惠州模擬)已知函數(shù)y=sin4x+2
3
sinxcosx-cos4x

(1)求該函數(shù)的最小正周期和最小值;
(2)若x∈[0,π],求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
分析:(1)將函數(shù)解析式第二項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡,第一、三項(xiàng)利用平方差公式分解因式后利用同角三角 函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù),找出ω的值,代入周期公式T=
|ω|
,即可求出函數(shù)的最小正周期;由正弦函數(shù)的值域得出函數(shù)的值域,即可確定出函數(shù)的最小值;
(2)由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間[2kπ-
π
2
,2kπ+
π
2
],列出關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集,令解集中k=0和1,得到x的范圍,與x∈[0,π]取交集,即可得到該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
解答:解:(1)y=sin4x+2
3
sinxcosx-cos4x
=
3
sin2x+(sin4x-cos4x)
=
3
sin2x+(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)
=
3
sin2x-cos2x=2sin(2x-
π
6
),…(4分)
∵ω=2,∴T=π,
又-1≤sin(2x-
π
6
)≤1,∴-2≤2sin(2x-
π
6
)≤2,
則ymin=-2;…(6分)
(2)令2kπ-
π
2
≤2x-
π
2
≤2kπ+
π
2
,k∈Z,
則kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
,k∈Z,…(8分)
令k=0,1,得到x∈[-
π
6
,
π
3
]或x∈[
6
3
],…(10分)
與x∈[0,π]取交集,得到x∈[0,
π
3
]或x∈[
6
,π],
則當(dāng)x∈[0,π]時,函數(shù)的遞增區(qū)間是x∈[0,
π
3
]和x∈[
6
,π].…(12分)
點(diǎn)評:此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,以及正弦函數(shù)的單調(diào)性,涉及的知識有:二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,以及正弦函數(shù)的定義域與值域,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.
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π
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4
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