Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點.

（1）求證：平面；

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接交于，連接，，則為的中點，可得，結合，得到四邊形為平行四邊形，則，再由線面平行的判定定理，可得平面；

（2）由平面，點到平面的距離等于點到平面的距離，利用線面垂直的判定和性質求得，從而可求出和，利用等積法得，化簡計算可求得點到平面的距離，從而得出點到平面的距離，即可得出結果．

解：（1）如圖，連接，交于點，連接，，

則為的中點，

又∵為的中點，

∴，且.

又∵為的中點，

∴，且，

∴且，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面.

（2）解：∵平面，

∴點到平面的距離等于點到平面的距離，

∵三棱柱為直三棱柱，

則平面，平面，

，

又，，

則，

，且，

∴平面，即平面，

∵平面，∴，

∵，，

∴，，

連接和，則，

∵，

而到底面的距離等于到底面的距離為，

設到平面的距離為，

而為的中點，則到平面的距離為，

∴，∴，

∴點到平面的距離為，

即點到平面的距離為.