Question

（2012•三明模擬）已知拋物線Γ：y²=2px（p＞0）的焦點與橢圓4x²+20y²=5的右焦點重合．
（Ⅰ）求拋物線Γ的方程；
（Ⅱ）動直線l恒過點M（0，1）與拋物線Γ交于A、B兩點，與x軸交于C點，請你觀察并判斷：在線段MA，MB，MC，AB中，哪三條線段的長總能構成等比數列？說明你的結論并給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化橢圓方程為標準方程，確定橢圓的右焦點，可得拋物線的焦點，進而可得拋物線的方程；
（Ⅱ）解法一：設直線l的方程代入到拋物線方程，利用韋達定理及弦長公式，確定線段MA，MB，MC，AB的長，計算可得結論；
解法二：利用向量的方法，確定M、A、B三點共線，且|

MA

|•|

MB

|=1+

1

k2

=|MC|²．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓方程為：

x2

5 4

+

y2

1 4

=1，∴a2=

5

4

，b2=

1

4

，…（2分）
∴c²=1，即橢圓的右焦點為（1，0），
因為拋物線的焦點為（

p

2

，0），所以p=2，…（3分）
所以拋物線的方程為y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）解法一：設直線l：y=kx+1（k≠0），則C（-

1

k

，0），
由

y=kx+1 y2=4x

得k²x²+2（k-2）x+1=0，…（6分）
因為△=4（k-2）²-4k²＞0，所以k＜1，…（7分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

2(k-2)

k2

，x1x2=

1

k2

，…（8分）
所以由弦長公式得：|MA|=

1+k2

|x1|，|MB|=

1+k2

|x2|，|MC|=

1+k2

•|

1

k

|，|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

4 1-k

k2

，…（10分）
|MA|•|MB|=（1+k²）•|x₁x₂|=（1+k²）•

1

k2

=|MC|²．…（11分）
若|MA|•|MB|=|AB|²，則k=-8±4

2

，不滿足題目要求．…（12分）
所以存在三線段MA、MC、MB的長成等比數列．…（13分）
解法二：同法一得x1x2=

1

k2

，…（8分）
而

MA

•

MB

=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=（x₁，kx₁）•（x₂，kx₂）
=（1+k²）x₁x₂=(1+k2)•

1

k2

=1+

1

k2

，
因為C（-

1

k

，0），所以|MC|²=1+

1

k2

．…（10分）
因為M、A、B三點共線，且向量

MA

、

MB

同向，
所以

MA

•

MB

=|

MA

|•|

MB

|•cos0°=|

MA

|•|

MB

|，…（11分）
因此|

MA

|•|

MB

|=1+

1

k2

=|MC|²．
所以存在三線段MA、MC、MB的長成等比數列．…（13分）

點評：本題考查橢圓的方程與性質，考查拋物線的方程，考查直線與武平縣的位置關系，考查韋達定理的運用，考查等比數列的判定，屬于中檔題．