【題目】如圖，在直角中，，通過以直線為軸順時針旋轉(zhuǎn)得到（）.點為斜邊上一點.點為線段上一點，且.

（1）證明：平面；

（2）當直線與平面所成的角取最大值時，求二面角的正弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先算出的長度，利用勾股定理證明，再由已知可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；

（2）由（1）可得為直線與平面所成的角，要使其最大，則應最小，可得為中點，然后建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，進一步得到正弦值.

（1）在中，，由余弦定理得

，

∴，

∴，

由題意可知：∴，，，

∴平面，

平面，∴，

又，

∴平面.

（2）以為坐標原點，以，，的方向為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系.

∵平面，∴在平面上的射影是，

∴與平面所成的角是，∴最大時，即，點為中點.

，，，，，

，，設平面的法向量，

由，得，令，得，

所以平面的法向量，

同理，設平面的法向量，由，得，

令，得，所以平面的法向量，

∴，，

故二面角的正弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的曲線，它是由德國機械工程專家、機構(gòu)運動學家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，其作法是：以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.如圖中的兩個勒洛三角形，它們所對應的等邊三角形的邊長比為，若從大的勒洛三角形中隨機取一點，則此點取自小勒洛三角形內(nèi)的概率為（ ）

A.B.C.D.

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試銷單價x（元）

4

5

6

7

8

9

產(chǎn)品銷量y（件）

q

84

83

80

75

68

已知

（Ⅰ）求出q的值；

（Ⅱ）已知變量x，y具有線性相關關系，求產(chǎn)品銷量y（件）關于試銷單價x（元）的線性回歸方程；

（Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的線性回歸方程得到的與對應的產(chǎn)品銷量的估計值.當銷售數(shù)據(jù)對應的殘差的絕對值時，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個“好數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從6個銷售數(shù)據(jù)中任取3個，求“好數(shù)據(jù)”個數(shù)的分布列和數(shù)學期望．

（參考公式：線性回歸方程中最小二乘估計分別為）

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【題目】臨近開學季，某大學城附近的一款“網(wǎng)紅”書包銷售火爆，其成本是每件15元．經(jīng)多數(shù)商家銷售經(jīng)驗，這款書包在未來1個月（按30天計算）的日銷售量（個）與時間（天）的關系如下表所示：

時間（/天）

1

4

7

11

28

…

日銷售量（/個）

196

184

172

156

88

…

未來1個月內(nèi)，前15天每天的價格（元/個）與時間（天）的函數(shù)關系式為（且為整數(shù)），后15天每天的價格（元/個）與時間（天）的函數(shù)關系式為（且為整數(shù)）．

（1）認真分析表格中的數(shù)據(jù)，用所學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定一個滿足這些數(shù)據(jù)（個）與（天）的關系式；

（2）試預測未來1個月中哪一天的日銷售利潤最大，最大利潤是多少？

（3）在實際銷售的第1周（7天），商家決定每銷售1件商品就捐贈元利潤給該城區(qū)養(yǎng)老院．商家通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，這周中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間（天）的增大而增大，求的取值范圍．

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【題目】在平面直角坐標系中，的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）求曲線C上的點到距離的最大值及該點坐標.

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【題目】2020年春節(jié)前后，一場突如其來的新冠肺炎疫情在全國蔓延.疫情就是命令，防控就是責任.在黨中央的堅強領導和統(tǒng)一指揮下，全國人民眾志成城、團結(jié)一心，掀起了一場堅決打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的人民戰(zhàn)爭.下圖表展示了2月14日至29日全國新冠肺炎疫情變化情況，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（ ）

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C.16天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例的極差均大于2000

D.19日至29日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診與新增疑似病例之和

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(i)求的取值范圍

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