已知,橢圓C經(jīng)過點A(1,),兩個焦點為(－1,0),(1,0).

(1)求橢圓C的方程;

(2)E,F是橢圓C上的兩個動點,如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值.

【答案】解:(1)由題意,c＝1,可設橢圓方程為,

因為A在橢圓上,

所以,

解得b2＝3,(舍去).

所以橢圓方程為.

(2)設直線AE方程:

,代入得

(3+4k2)x2+4k(3－2k)x+4()2－12＝0.

設E(xE,yE),F(xF,yF),因為點A(1,)在橢圓上,

所以,.

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù),在上式中以－k代k,可得,

.

所以直線EF的斜率,

即直線EF的斜率為定值,其值為.

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C經(jīng)過點A(1， 
3
2
)，且經(jīng)過雙曲線y2-x2=1的頂點．P是該橢圓上的一個動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左右焦點，
（1）求橢圓C的方程；
（2）求|PF1|•|PF2|的最大值和最小值．
（3）求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•臨沂三模）已知橢圓C經(jīng)過點M(1，
32
)，其左頂點為N，兩個焦點為（-1，0），（1，0），平行于MN的直線l交橢圓于A，B兩個不同的點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C經(jīng)過點M（1，
32
），兩個焦點是F1（-1，0）和F2（1，0）
（I）求橢圓C的方程；
（II）若A、B為橢圓C的左、右頂點，P是橢圓C上異于A、B的動點，直線AP 與橢圓在點B處的切線交于點D，當直線AP繞點A轉(zhuǎn)動時，求證：以BD為直徑的圓與直線的圓與直線PF2相切．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C經(jīng)過點A(1， 
3
2
)，且經(jīng)過雙曲線y2-x2=1的頂點．P是該橢圓上的一個動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左右焦點，
（1）求橢圓C的方程；
（2）求|PF1|•|PF2|的最大值和最小值．
（3）求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值．

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