Question

（文）已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線為l，焦點為F．⊙M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切．過原點O作傾斜角為

π

3

的直線，交l于點A，交⊙M于另一點B，且AO=OB=2．
（Ⅰ）求⊙M和拋物線C的標準方程；
（Ⅱ）過圓心M的直線交拋物線C于P、Q兩點，問

OP

•

OQ

是否為定值，若是定值，求出該定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據

p

2

=OA•cos60°，可求出p的值，從而求出拋物線方程，求出圓心和半徑可求出⊙M的方程；
（Ⅱ）分類討論，設出直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理及向量的數量積公式，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）因為

p

2

=OA•cos60°=2×

1

2

=1，即p=2，所以拋物線C的方程為y²=4x
設⊙M的半徑為r，則r=

OB

2

×

1

cos60°

=2，所以⊙M的方程為（x-2）²+y²=4
（Ⅱ）M（2，0），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
（1）當PQ斜率不存在時，P（2，2

2

），Q（2，-2

2

），則

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=-4
（2）當PQ斜率存在時，設PQ的方程為y=k（x-2）（k≠0），消y得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0
所以x₁+x₂=

4k2+4

k2

，x₁x₂=4，
因為y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，所以y₁²y₂²=16x₁x₂=64，故y₁y₂=-8
所以

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=-4
所以

OP

•

OQ

為定值，該值為-4．

點評：本題考查拋物線與圓的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．