Question

若函數(shù)f（x）=ax³-bx+4，當x=2時，函數(shù)f（x）有極值，且函數(shù)f（x）圖象上以點A（3，f（3））為切點的切線與直線5x-y+1=0平行．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）以點A（3，f（3））為切點的切線方程；
（III）若方程f（x）=k有3個解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用函數(shù)的導數(shù)，以及函數(shù)的極值，求出a，b的值，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）求出函數(shù)在以點A（3，f（3））為切點的坐標，求出切線的斜率，即可求出直線方程；
（III）畫出函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的最值，利用方程f（x）=k有3個解，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（I）f′（x）=3ax²-b，直線5x-y+1=0的斜率為5，…（1分）
由題意：

f′(2)=12a-b=0 f′(3)=27a-b=5

；解得

a= 1 3 b=4

…（4分）
∴f(x)=

1

3

x3-4x+4．…（5分）
（II）∵f(3)=

1

3

×33-4×3+4=1，∵A（3，1），
∴切線方程為y-1=5（x-3），即5x-y-14=0．…（7分）
（III）由（I）得，f′（x）=x²-4，令f′（x）=0，得x=2，或x=-2．…（8分）
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，+2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	28 3	↘	- 4 3	↗

∴f(x)max=f(-2)=

28

3

，
∴f(x)min=f(2)=-

4

3

．…（10分）
函數(shù)f(x)=

1

3

x3-4x+4的圖象大致如右：
若方程f（x）=k有3個解，需使直線y=k與函數(shù)f(x)=

1

3

x3-4x+4的圖象有3個交點，
由圖象可知：-

4

3

＜k＜

28

3

．…（12分）

點評：本題是中檔題，考查 函數(shù)的導數(shù)的應用，直線的斜率，曲線的切線方程，函數(shù)的最值以及考查數(shù)形結合的思想，轉化思想．