設(shè)函數(shù),方程x=f(x)有唯一解,其中實(shí)數(shù)a為常數(shù),,f(xn)=xn+1(n∈N*
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)求x2011的值;
(3)若,求證:b1+b2+…+bn<n+1.
【答案】分析:(1)由方程x=f(x)有唯一解,則ax2+(2a-1)x=0有唯一解,知 ,由此能求出f(x)的表達(dá)式;
(2)由f(xn)=xn+1,知,由 等差數(shù)列的定義可求出數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;
(3)由
b1+b2+…+bn-n<1,由此能證明b1+b2+…+bn<n+1.
解答:解:(1)由,可化簡(jiǎn)為ax(x+2)=x∴ax2+(2a-1)x=0
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),方程x=f(x)有唯一解.
從而
(2)由已知f(xn)=xn+1(n∈N*),得
,即
∴數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.,∴

,即


(3)證明:∵


故b1+b2+…+bn<n+1.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要注意通項(xiàng)公式的求法和裂項(xiàng)公式的合理運(yùn)用,屬于中檔題.
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