【答案】
分析:(Ⅰ)分兩種情況:當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)出直線l的斜率為k,由P的坐標(biāo)和設(shè)出的k寫出直線l的方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出P到直線l的距離d,讓d等于1列出關(guān)于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,利用求出的k和P寫出直線l的方程即可;當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),得到在線l的方程,經(jīng)過驗(yàn)證符合題意;
(Ⅱ)由利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心C到P的距離,再根據(jù)弦長|MN|的一半及半徑,利用勾股定理求出弦心距d,發(fā)現(xiàn)|CP|與d相等,所以得到P為MN的中點(diǎn),所以以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)即為P的坐標(biāo),半徑為|MN|的一半,根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可;
(Ⅲ)把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,因?yàn)橹本與圓有兩個(gè)交點(diǎn),所以得到△>0,列出關(guān)于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的取值范圍,利用反證法證明:假設(shè)符合條件的a存在,由直線l
2垂直平分弦AB得到圓心必在直線l
2上,根據(jù)P與C的坐標(biāo)即可求出l
2的斜率,然后根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1,即可求出直線ax-y+1=0的斜率,進(jìn)而求出a的值,經(jīng)過判斷求出a的值不在求出的范圍中,所以假設(shè)錯(cuò)誤,故這樣的a不存在.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)直線l的斜率為k(k存在)則方程為y-0=k(x-2).
又圓C的圓心為(3,-2),半徑r=3,
由
,解得
.
所以直線方程為
,即3x+4y-6=0;
當(dāng)l的斜率不存在時(shí),l的方程為x=2,經(jīng)驗(yàn)證x=2也滿足條件;
(Ⅱ)由于
,而弦心距
,
所以d=
,所以P為MN的中點(diǎn),
所以所求圓的圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑為
|MN|=2,
故以MN為直徑的圓Q的方程為(x-2)
2+y
2=4;
(Ⅲ)把直線ax-y+1=0即y=ax+1.代入圓C的方程,消去y,整理得(a
2+1)x
2+6(a-1)x+9=0.
由于直線ax-y+1=0交圓C于A,B兩點(diǎn),
故△=36(a-1)
2-36(a
2+1)>0,即-2a>0,解得a<0.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0).
設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在,
由于l
2垂直平分弦AB,故圓心C(3,-2)必在l
2上.
所以l
2的斜率k
PC=-2,
而
,
所以
.
由于
,
故不存在實(shí)數(shù)a,使得過點(diǎn)P(2,0)的直線l
2垂直平分弦AB.
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系,靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式及兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,以及會(huì)利用反證法進(jìn)行證明,是一道綜合題.