【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，為直角三角形且，是等邊三角形.

（1）求證：；

（2）若，求二面角的正弦值.

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）取AP中點(diǎn)F，連接DM，BM，由已知可證PA⊥DM，PA⊥BM，又DM∩BM=M，可得PA⊥平面DMB，因?yàn)锽D平面DMB，可證PA⊥BD；

（2）由已知可得△DAP是等腰三角形，又△ABP是等邊三角形，可求出MD⊥MB，以MP，MB，MD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面DPC與平面PCB的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角D﹣PC﹣B的余弦值，進(jìn)一步求得正弦值．

（1）證明：取中點(diǎn)，連，

∵，為等邊三角形，

∴，又，

∴平面，又∵平面，∴.

（2）解：∵，為中點(diǎn)，結(jié)合題設(shè)條件可得，

∴，∴.

如圖，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

得，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

則即，∴.

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

由即，∴.

∴ .

設(shè)二面角的平面角為，則由圖可知，∴.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校抽取了100名學(xué)生期中考試的英語和數(shù)學(xué)成績(jī)，已知成績(jī)都不低于100分，其中英語成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，成績(jī)分組區(qū)間是，，，，.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生英語成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）若這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)y的情況如下表所示：

分組區(qū)間

y

15

40

40

m

n

且區(qū)間內(nèi)英語人數(shù)與數(shù)學(xué)人數(shù)之比為，現(xiàn)從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，求選出的2人中恰好有1人數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（ ）

①?gòu)哪成鐓^(qū)65戶高收入家庭，280戶中等收入家庭，105戶低收入家庭中選出100戶調(diào)查社會(huì)購(gòu)買力的某一項(xiàng)指標(biāo)，應(yīng)采用的最佳抽樣方法是分層抽樣

②線性回歸直線一定過樣本中心點(diǎn)

③對(duì)于一組數(shù)據(jù)，如果將它們改變?yōu)?/span>，則平均數(shù)與方差均發(fā)生變化

④若一組數(shù)據(jù)1、、2、3的眾數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2

⑤用系統(tǒng)抽樣方法從編號(hào)為1，2，3，…，700的學(xué)生中抽樣50人，若第2段中編號(hào)為20的學(xué)生被抽中，按照等間隔抽取的方法，則第5段中被抽中的學(xué)生編號(hào)為76

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓與的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸均為且在軸上，短軸長(zhǎng)分別為，，過原點(diǎn)且不與軸重合的直線與，的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為，記，和的面積分別為和.

（1）當(dāng)直線與軸重合時(shí)，若，求的值；

（2）當(dāng)變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線，使得？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】絕大部分人都有患呼吸系統(tǒng)疾病的經(jīng)歷，現(xiàn)在我們調(diào)查患呼吸系統(tǒng)疾病是否和所處環(huán)境有關(guān)．一共調(diào)查了人，患有呼吸系統(tǒng)疾病的人，其中人在室外工作，人在室內(nèi)工作．沒有患呼吸系統(tǒng)疾病的人，其中人在室外工作，人在室內(nèi)工作．

（1）現(xiàn)采用分層抽樣從室內(nèi)工作的居民中抽取一個(gè)容量為的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中隨機(jī)的抽取兩人，求兩人都有呼吸系統(tǒng)疾病的概率．

（2）你能否在犯錯(cuò)誤率不超過的前提下認(rèn)為感染呼吸系統(tǒng)疾病與工作場(chǎng)所有關(guān)；

附表：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）求和的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性.

（Ⅱ）若時(shí)，存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某小區(qū)隨機(jī)抽取40個(gè)家庭，收集了這40個(gè)家庭去年的月均用水量（單位：噸）的數(shù)據(jù)，整理得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）從該小區(qū)隨機(jī)選取一個(gè)家庭，試估計(jì)這個(gè)家庭去年的月均用水量不低于6噸的概率；

（3）在這40個(gè)家庭中，用分層抽樣的方法從月均用水量不低于6噸的家庭里抽取一個(gè)容量為7的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任意選取2個(gè)家庭，求其中恰有一個(gè)家庭的月均用水量不低于8噸的概率.

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