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（2006•松江區(qū)模擬）（理）設函數f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數f（x）在[a，b]上的面積．已知函數y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
(n∈N*)，則函數y=cos3x+1在[0，
5π
6
]上的面積為
5π+2
6
5π+2
6
．
分析：將y=cos3x+1化成y=sin（3x+
π
2
）+1，令t=x+
π
6
，則y=sin3t+1．t∈[
π
6
，π]．函數y=sinnx與函數y=sin3t類比，可以得出函數y=sin3t在[0，
π
3
]上的面積為
2
3
，在[0，
π
6
]上的面積為在[0，
π
3
]上的面積的一半，等于
1
3
．再結合圖象，準確地利用已知數據表示出陰影面積并計算即可．
解答：解：y=cos3x+1=sin（3x+
π
2
）+1，令t=x+
π
6
，則y=sin3t+1．t∈[
π
6
，π]
在函數y=sinnx中，令n=3，得出函數y=sin3x在[0，
π
3
]上的面積為
2
3
．在[0，
π
6
]上的面積為在[0，
π
3
]上的面積的一半，等于
1
3
．
 
 
函數y=cos3t+1圖象由y=sin3t圖象向上平移一個1個單位得到．
陰影部分面積為
1
3
+(1×
5π
6
-
2
3
)+
2
3
  =
5π+2
6

故答案為：
5π+2
6
．
點評：本題考查不規(guī)則圖象的面積求解，要充分利用已知信息，將所求問題進行轉化．本題首先將函數名稱由余弦化成正弦，再進行換元，以滿足已知信息模型，在具體求解時，將不規(guī)則部分利用規(guī)則部分與已知數值表示．
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科目：高中數學 來源： 題型：

（2006•松江區(qū)模擬）若x2+
1
x2
=2cosθ(x∈R，且x≠0)，則復數2cosθ+xi的模是
5
5
．

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