Question

（2009•盧灣區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為A_n，且對任意正整數(shù)n，都滿足：ta_n-1=A_n，其中t＞1為實(shí)數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n為楊輝三角第n行中所有數(shù)的和，即b_n=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ，B_n為楊輝三角前n行中所有數(shù)的和，亦即為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求

lim

n→∞

An

Bn

的值．

Answer 1

分析：（1）涉及通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，通常是再寫一式，兩式相減，進(jìn)而可得相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，從而利用數(shù)列為等比數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）分別求出前n項(xiàng)和為A_n，B_n，再求極限，注意分類討論．

解答：解：（1）由已知ta_n+1-1=A_n+1，ta_n-1=A_n，相減得ta_n+1-ta_n=a_n+1，由t-1＞0得

an+1

an

=

t

t-1

，又ta₁-1=a₁，得a1=

1

t-1

，故數(shù)列{a_n}是一個以a1=

1

t-1

為首項(xiàng)，以q=

t

t-1

為公比的等比數(shù)列．（4分）
從而an=

1

t-1

•(

t

t-1

)n-1=

1

t

(

t

t-1

)nn∈N^*；                   （6分）
（2）An=tan-1=(

t

t-1

)n-1，（7分）
又b_n=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ，故B_n=2（2ⁿ-1），（11分）
于是

lim

n→∞

An

Bn

=

lim

n→∞

( t t-1 )n-1

2n+1-2

，
當(dāng)

t

t-1

=2，即t=2時(shí)，

lim

n→∞

An

Bn

=

1

2

，
當(dāng)

t

t-1

＜2，即t＞2時(shí)，

lim

n→∞

An

Bn

=0，
當(dāng)

t

t-1

＞2，即1＜t＜2時(shí)，

lim

n→∞

An

Bn

不存在．（14分）

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是數(shù)列的極限，主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的極限，關(guān)鍵是掌握涉及通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，通常是再寫一式，兩式相減的方法．