Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和 ，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Bn ．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) ，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Cn；
（3）證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n≥2時(shí)， ， ，

兩式相減：an=An﹣An﹣1=2n﹣1；

當(dāng)n=1時(shí)，a1=A1=1，也適合an=2n﹣1，

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n﹣1

（2）解：由題意知： ，Cn=c1+c2+…+cn，

， ，

兩式相減可得： ，

即 ， ，

（3）解： ，顯然 ，

即bn＞2，Bn=b1+b2+…+bn＞2n

另一方面， ，

即 ， ， ， ，

即：2n＜Bn＜2n+2

【解析】（1）當(dāng)n≥2時(shí)，利用an=An﹣An﹣1可得an=2n﹣1，再驗(yàn)證n=1的情況，即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）由題意知： ，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Cn；（3）利用基本不等式可得 ＞ ，可得Bn=b1+b2+…+bn＞2n；再由bn= ，累加可 ， 于是可證明： ．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案．