Question

已知函數(shù)f(x)=4

x

3

-3

x

2

cosθ+

1

32

，其中x∈R．
（Ⅰ）當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，判斷函數(shù)f（x）是否有極值；
（Ⅱ）若θ∈(

π

3

，

π

2

]時(shí)，f（x）總是區(qū)間（2a-1，a）上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而可判定是否有極值．
（Ⅱ）先求出極值點(diǎn)，f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）與 （

cosθ

2

，+∞）內(nèi)都是增函數(shù)，只需（2a-1，a）是區(qū)間（-∞，0）與 （

cosθ

2

，+∞）的子集即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，cosθ=0，f（x）=4x³+

1

32

，則f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，故無(wú)極值．
（II）f′（x）=12x²-6xcosθ，令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=

cosθ

2

．
①當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，則f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
故只要2a-1＜a即a＜1時(shí)，f（x）總是區(qū)間（2a-1，a）上的增函數(shù)，
②當(dāng)

π

3

＜θ＜

π

2

時(shí)，

cosθ

2

＞0．
則函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）與 （

cosθ

2

，+∞）內(nèi)都是增函數(shù)．
由函數(shù)f（x）在（2a-1，a）內(nèi)是增函數(shù)，
則參數(shù)a須滿足不等式組

2a-1＜a a≤0

或

2a-1＜a 2a-1≥ cosθ 2

 
由于

π

3

＜θ＜

π

2

，故cosθ∈（0，

1

2

）
故要使不等式 2a-1≥

1

2

cosθ關(guān)于參數(shù)θ恒成立，必有 2a-1≥

1

4

，解得a≥

5

8

則a≤0或

5

8

≤a＜1
綜上①②可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0或

5

8

≤a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力．