如圖,已知直線l:x=my+1過橢圓的右焦點(diǎn)F,拋物線:的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn),且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、F、B在直線g:x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E.(1)橢圓C的方程;(2)直線l交y軸于點(diǎn)M,且,當(dāng)m變化時,探求λ1+λ2的值是否為定值?若是,求出λ1+λ2的值,否則,說明理由;(3)接AE、BD,試證明當(dāng)m變化時,直線AE與BD相交于定點(diǎn).
(1)
(2) 當(dāng)m變化時,λ1+λ2的值為定值;
(3)當(dāng)m變化時,AE與BD相交于定點(diǎn)
解析試題分析:(1)知橢圓右焦點(diǎn)F(1,0),∴c=1,
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),∴∴b2=3
∴a2=b2+c2=4∴橢圓C的方程 4分
(2)知m≠0,且l與y軸交于,
設(shè)直線l交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2)
由- 5分
∴△=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0
∴ 6分
又由
∴
同理- 7分
∴
∵
∴
所以,當(dāng)m變化時,λ1+λ2的值為定值; 9分
(3):由(2)A(x1,y1),B(x2,y2),∴D(4,y1),E(4,y2)
方法1)∵ 10分
當(dāng)時,=
= 12分
∴點(diǎn)在直線lAE上, 13分
同理可證,點(diǎn)也在直線lBD上;
∴當(dāng)m變化時,AE與BD相交于定點(diǎn) 14分
方法2)∵ 10分
- 11分
= 12分
∴kEN=kAN∴A、N、E三點(diǎn)共線,
同理可得B、N、D也三點(diǎn)共線; 13分
∴當(dāng)m變化時,AE與BD相交于定點(diǎn). 14分
考點(diǎn):橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評:解決的關(guān)鍵是對于橢圓的幾何性質(zhì)的表示,以及聯(lián)立方程組的思想結(jié)合韋達(dá)定理來求解,屬于基礎(chǔ)題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:的右焦點(diǎn),過原點(diǎn)和軸不重合的直線與橢圓 相交于,兩點(diǎn),且,最小值為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若圓:的切線與橢圓相交于,兩點(diǎn),當(dāng),兩點(diǎn)橫坐標(biāo)不相等時,問:與是否垂直?若垂直,請給出證明;若不垂直,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩個焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在橢圓 上,過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),拋物線在點(diǎn)處的切線分別為,且與交于點(diǎn).
(1) 求橢圓的方程;
(2) 是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在,指出這樣的點(diǎn)有幾個(不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)); 若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,經(jīng)過點(diǎn)的動直線交拋物線于點(diǎn),且.
(1)求拋物線的方程;
(2)若(為坐標(biāo)原點(diǎn)),且點(diǎn)在拋物線上,求直線傾斜角;
(3)若點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的一點(diǎn),直線的斜率分別為.求證:
當(dāng)為定值時,也為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓,它的中心在原點(diǎn),左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若是橢圓上的動點(diǎn),求線段中點(diǎn)的軌跡方程;
(3)過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn),求面積的最大值。
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設(shè)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,已知橢圓上的任意一點(diǎn),滿足,過作垂直于橢圓長軸的弦長為3.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過的直線交橢圓于兩點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
直角坐標(biāo)平面上,為原點(diǎn),為動點(diǎn),,. 過點(diǎn)作軸于,過作軸于點(diǎn),. 記點(diǎn)的軌跡為曲線,
點(diǎn)、,過點(diǎn)作直線交曲線于兩個不同的點(diǎn)、(點(diǎn)在與之間).
(1)求曲線的方程;
(2)是否存在直線,使得,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為
(1)求橢圓C的方程
(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為,求面積的最大值。
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