Question

已知函數（其中a∈R）．
（Ⅰ）若函數f（x）在點（1，f（1））處的切線為，求實數a，b的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

解：由，可得．…．（2分）
（Ⅰ）因為函數f（x）在點（1，f（1））處的切線為，得：…．（4分）
解得 …．（5分）
（Ⅱ）令f'（x）＞0，得x²+2x-a＞0…①…．（6分）
當△=4+4a≤0，即a≤-1時，不等式①在定義域內恒成立，所以此時函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（-1，+∞）．…．（8分）
當△=4+4a＞0，即a＞-1時，不等式①的解為或，
…．（10分）
又因為x≠-1，所以此時函數f（x）的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為和．
．…．（12分）
所以，當a≤-1時，函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（-1，+∞）；
當a＞-1時，函數f（x）的單調遞增區(qū)間為和，
單調遞減區(qū)間為和..…．（13分）
分析：（I）欲求實數a、b的值，利用在x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調減區(qū)間．
點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數的正負判斷函數的單調性，是一道中檔題．利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定函數的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數的單調區(qū)間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．