Question

對正整數(shù)n，有拋物線y²=2（2n-1）x，過P（2n，0）任作直線l交拋物線于A_n，B_n兩點，設數(shù)列{a_n}中，a₁=-4，且a_n=

OAn OBn

n-1

（其中n＞1，n∈N），則數(shù)列{a_n}的前n項和T_n=（　�。�

• A、4n
• B、-4n
• C、2n（n+1）
• D、-2n（n+1）

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設直線方程為x=ty+2n，代入拋物線方程得y²-2（2n-1）ty-4n（2n-1）=0，設A_n（x_n1，y_n1），B（x_n2，y_n2），則

OAn

•

OBn

=（t²+1）y_n1y_n22nt（y_n1+y_n2）+4n²，由此利用根與系數(shù)的關系能求出數(shù)列{

OAn • OBn

n-1

}的前n項和為-2n（n+1）．

解答： 解：設直線方程為x=ty+2n，
代入拋物線方程得y²-2（2n-1）ty-4n（2n-1）=0，
設A_n（x_n1，y_n1），B（x_n2，y_n2），
則

OAn

•

OBn

=x_n1x_n2+y_n1y_n2
=（t²+1）y_n1y_n22nt（y_n1+y_n2）+4n²，①，
由根與系數(shù)的關系得y_n1+y_n2=2（2n-1）t，y_n1y_n2=-4n（2n-1），
代入①式得

OAn

•

OBn

=-4n（2n-1）t²+4n²=4n-4n²，
故

OAn • OBn

n-1

=-4n（n＞1，n∈N），
故數(shù)列{

OAn • OBn

n-1

}的前n項和為-2n（n+1）．
故選：D．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，解題時要注意拋物線性質(zhì)、根與系數(shù)的關系的合理運用．