Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）若不等式對(duì)恒成立，求的值；

（2）若在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求負(fù)數(shù)的取值范圍；

（3）已知，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在正實(shí)數(shù)，使得成立，求正實(shí)數(shù)的取值集合．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）；（3）

【解析】

（1）討論，和三種情況，分別計(jì)算得到答案.

（2）求導(dǎo)得到，討論，，三種情況，分別計(jì)算得到答案.

（3）在上是增函數(shù)，其值域?yàn)?/span>，若，則函數(shù)在上是增函數(shù)，值域?yàn)?/span>，記，則

根據(jù)得到答案.

（1）若，則當(dāng)時(shí)，，，，不合題意；

若，則當(dāng)時(shí)，，，，不合題意；

若，則當(dāng)時(shí)，，，，

當(dāng)時(shí)，，，，

當(dāng)時(shí)，，滿足題意，因此=．

（2），，

令，，則，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因此 點(diǎn)，在

（i）當(dāng)時(shí)，，，在內(nèi)至多有一個(gè)極值點(diǎn)．

（ii）當(dāng)時(shí)，由于，所以，

而，，，

因此在上無零點(diǎn)，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

從而上有且僅有一零點(diǎn)，在內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)．

（iii）當(dāng)時(shí)，，，，

因此在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

從而在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)．

綜上所述，的取值范圍為．

（3）因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得成立，

所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>．

在上是增函數(shù)，其值域?yàn)?/span>，

對(duì)于函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)．

若，則函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，其值域?yàn)?/span>，又，不符合題意，舍去；

若，則函數(shù)在上是增函數(shù)，值域?yàn)?/span>，

由題意得，即 ①

記，則

當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)減函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)增函數(shù)．所以，當(dāng)時(shí)，有最小值，

從而恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， ②

由①②得，，所以．

綜上所述，正實(shí)數(shù)的取值集合為．