【題目】已知橢圓E: =1(a>b>0)的焦距為2 ,其上下頂點(diǎn)分別為C1 , C2 , 點(diǎn)A(1,0),B(3,2),AC1⊥AC2
(1)求橢圓E的方程及離心率;
(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n)(m≠3),過(guò)點(diǎn)A任意作直線l與橢圓E相交于點(diǎn)M,N兩點(diǎn),設(shè)直線MB,BP,NB的斜率依次成等差數(shù)列,探究m,n之間是否滿足某種數(shù)量關(guān)系,若是,請(qǐng)給出m,n的關(guān)系式,并證明;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:∵AC1⊥AC2,C1(0,b),C2(0,﹣b),A(1,0),

=1﹣b2=0,∴b2=1.

∵2c=2 ,解得c= ,∴a2=b2+c2=3.

∴橢圓E的方程為 =1.

離心率e= = =


(2)解:m,n之間滿足數(shù)量關(guān)系m=n+1.下面給出證明:

①當(dāng)取M ,N 時(shí),kMB= ,kBP= ,kNB= ,

∵直線MB,BP,NB的斜率依次成等差數(shù)列,∴2× = + ,化為:m=n+1.

②當(dāng)直線MN的斜率不為0時(shí),設(shè)直線MN的方程為:ty+1=x.M(x1,y1),N(x2,y2).

聯(lián)立 ,化為:(t2+3)y2+2ty﹣2=0,

∴y1+y2= ,y1y2=

kMB= ,kBP= ,kNB= ,

∵直線MB,BP,NB的斜率依次成等差數(shù)列,

∴2× = +

由于 + = = =2,

=1,化為:m=n+1


【解析】(1)由AC1⊥AC2 , 可得 =1﹣b2=0,又2c=2 ,a2=b2+c2 , 即可得出.(2)m,n之間滿足數(shù)量關(guān)系m=n+1.下面給出證明:①當(dāng)取M ,N 時(shí),根據(jù)斜率計(jì)算公式、及其直線MB,BP,NB的斜率依次成等差數(shù)列即可證明.②當(dāng)直線MN的斜率不為0時(shí),設(shè)直線MN的方程為:ty+1=x.M(x1 , y1),N(x2 , y2).與橢圓方程聯(lián)立化為:(t2+3)y2+2ty﹣2=0,根據(jù)斜率計(jì)算公式、及其直線MB,BP,NB的斜率依次成等差數(shù)列、根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)即可證明.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)為________________

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