Question

某同學(xué)在研究函數(shù) f （x）=

x

1+|x|

（x∈R） 時(shí)，分別給出下面幾個(gè)結(jié)論：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R時(shí)恒成立；
②函數(shù) f （x） 的值域?yàn)?nbsp;（-1，1）；
③若x₁≠x₂，則一定有f （x₁）≠f （x₂）；
④方程f（x）-x=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根．
其中正確結(jié)論的序號(hào)有

①②③

．（請(qǐng)將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：由奇偶性的定義來判斷①，由分類討論結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性求解②；由②結(jié)合①對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同說明③正確；由數(shù)形結(jié)合來說明④不正確．

解答：解：①f(-x)=

-x

1+|x|

=-f(x)∴正確
②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

1

1+ 1 x

∈（0，1）
由①知當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）∈（-1，0）
x=0時(shí)，f（x）=0
∴f（x）∈（-1，1）正確；
③則當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

1

1+ 1 x

反比例函數(shù)的單調(diào)性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
再由①知f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，正確
④由③知f（x）的圖象與y=x只有一個(gè)交點(diǎn)（0，0）．
不正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．