Question

設(shè)函數(shù)．
（1）若時(shí)，直線l與函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的圖象相切于同一點(diǎn)，求切線l的方程；
（2）若f（x）在[2，4]內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
說明：請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題記分．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）求出其導(dǎo)函數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，兩次求出的斜率相等列出關(guān)于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的方程，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)得出的切點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)由f（x）求出其導(dǎo)函數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和切線過原點(diǎn)寫出切線方程即可．
（2）通過解f′（x），求其單調(diào)區(qū)間，轉(zhuǎn)化為恒成立問題求a的取值范圍．
解答：解：（1）若時(shí)，
∵=，g'（x）=2x
因?yàn)橹本�l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象相切于同一點(diǎn)，
從而有：=2x（4分）
解得，（x=-1不在定義域內(nèi)，故舍去）
又f'（1）=2，f（1）=1，
，，
g'（1）=2，g（1）=1；
，．
①當(dāng)x=1時(shí)，則l的方程為：y=2x-1
②當(dāng)時(shí)，又因?yàn)辄c(diǎn)也在f（x）的圖象上，
所以l的方程為．
綜上所述直線l的方程為y=2x-1或．
（2）∵=，
要使f（x）在[2，4]為單調(diào)增函數(shù)，則f′（x）≥0在[2，4]恒成立，
即≥0在[2，4]恒成立，即ax²+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
又a（x²-1）≥-2x即（2≤x≤4）（8分）
設(shè)（2≤x≤4），
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190217350479401/SYS201310241902173504794020_DA/18.png">＜0（x＞0），
所以u（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)2≤x≤4時(shí)，∈[-，-]
所以要使（2≤x≤4），
只須當(dāng)時(shí)即可，（10分）
同理要為f（x）單調(diào)減函數(shù)，則f′（x）≤0在[2，4]恒成立，
易得，
綜上，f（x）在[2，4]為單調(diào)函數(shù)，
則a的取值范圍為或（12分）．
點(diǎn)評：對于已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍問題的常見解法；設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，若f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，則可得f′（x）≥0，從而建立了關(guān)于待求參數(shù)的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，，則可得f′（x）≤0．