Question

四面體的六條棱中，有五條棱長(zhǎng)都等于a，則該四面體體積的最大值為

1

8

a³

．

Answer 1

分析：設(shè)第六條棱的長(zhǎng)為x，建立體積關(guān)于x的函數(shù)，求最大值即可．

解答：解：如圖所示，
在四面體ABCD中，若AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取AD的中點(diǎn)P，BC的中點(diǎn)E，連接BP，EP，CP，
易證AD⊥平面BPC，所以V _A-BCD=

1

3

S△BPC×AD=

1

3

×

1

2

×a×

a2- x2 4 - a2 4

×x=

1

12

a×

(3a2-x2)x2

=

1

12

a×

-(x2- 3a 2 )2+ 9a4 4

≤

1

8

a³，
當(dāng)且僅當(dāng)x2=

3

2

a2，即x=

6

2

a時(shí)取等號(hào)．
故答案為：

1

8

a³，

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體體積、函數(shù)最值求解，關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式．