Question

(本小題滿分12分)已知兩點(diǎn)，直線，在直線上求一點(diǎn).
（1）使最�。� （2）使最大.  

Answer 1

（1）直線A₁B與的交點(diǎn)可求得為,由平面幾何知識可知最小.（2）直線AB與的交點(diǎn)可求得為，它使最大.

試題分析：（1）要使得點(diǎn)P到點(diǎn)A,B的距離和最小，則利用兩邊之和大于等于第三邊，結(jié)合對稱性，做一個(gè)點(diǎn)A，（或者B）的關(guān)于直線的對稱點(diǎn)A’（,或者B’），然后連接A’B與直線相交的交點(diǎn)即為所求的最小值的點(diǎn)P的位置。通過等價(jià)轉(zhuǎn)化得到結(jié)論。
（2）而要求解的最大值，則利用兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，可以連線，延長與直線相交，結(jié)合兩邊之差小于等于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線的時(shí)候滿足最大值得到結(jié)論。
解：（1）可判斷A、B在直線l的同側(cè)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（x₁，y₁）.
則有﹍﹍﹍﹍﹍2分     
解得 ﹍﹍﹍﹍4分
由兩點(diǎn)式求得直線A₁B的方程為，            ﹍﹍﹍﹍5分
直線A₁B與的交點(diǎn)可求得為                     ﹍﹍﹍﹍6分
由平面幾何知識可知最小.
（2）由兩點(diǎn)式求得直線AB的方程，即.﹍﹍﹍﹍8分
直線AB與的交點(diǎn)可求得為，它使最大.        ﹍﹍﹍﹍12分
點(diǎn)評：解決該類最值問題，一般要轉(zhuǎn)換為三點(diǎn)共線的特殊情況來得到。