Question

（2004•武漢模擬）（理科）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，一條經(jīng)過點（3，-

5

）且方向向量為

V

=(-2，

5

)的直線l交橢圓C于A、B兩點，交x軸于M點，又

AM

=2

MB

．
（1）求直線l方程；  
（2）求橢圓C長軸長取值的范圍．

Answer 1

分析：（1）由條件：一條經(jīng)過點（3，-

5

）且方向向量為

V

=(-2，

5

)，可得直線的斜率，進(jìn)而可求直線l方程； 
（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用

AM

=2

MB

．可得幾何量之間的關(guān)系，借助于直線l交橢圓C于A、B兩點，從而有判別式大于0，故可求橢圓C長軸長取值的范圍．

解答：解：（1）直線l過點（3，-

5

）且方向向量為

V

=(-2，

5

)∴l方程為

x-3

-2

=

y+ 5

5

化簡為：y=-

5

2

(x-1)…（4分）

（2）設(shè)直線y=-

5

2

(x-1)和橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1
交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），和x軸交于M（1，0）
由

AM

=2

MB

知y1=-2y2…（7分）
將x=-

2

5

y+1代入b2x2+a2y2=a2b2中得(

4

5

b2+a2)y2-

4

5

b2y+b2(1-a2)=0…①
由韋達(dá)定理知：

y1+y2= 4 5 b2 4 5 b2+a2 =-y2② y1•y2= b2(1-a2) 4 5 b2+a2 =-2 y 2 2 ③

由②²/③知：32b²=（4b²+5a²）（a²-1）…（10分）
化為4b2=

5a2(a2-1)

9-a2

…④
對方程①求判別式，且由△＞0，即△=(

4

5

b2)2-4(

4

5

b2+a2)•b2(1-a2)＞0
化簡為：5a²+4b²＞5…⑤
由④式代入⑤可知：5a2+

5a2(a2-1)

9-a2

＞5，求得1＜a2＜9，
又橢圓的焦點在x軸上，則a²＞b²，由④知：4b2=

5a2(a2-1)

9-a2

＜4a2，結(jié)合1＜a＜3，求得1＜a＜

41

3

．
因此所求橢圓長軸長2a范圍為(2，

2 41

3

)．

點評：本題以橢圓為載體，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是直線與橢圓方程的聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可解．