Question

【題目】已知橢圓的離心率為，拋物線與橢圓在第一線象限的交點(diǎn)為．

（1）求曲線、的方程；

（2）在拋物線上任取一點(diǎn)，在點(diǎn)處作拋物線的切線，若橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）根據(jù)離心率可得，再將點(diǎn)分別代入兩個(gè)曲線，求得曲線方程；（2）首先設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的方程，設(shè)橢圓上關(guān)于l對(duì)稱的兩點(diǎn)為，，那么設(shè)直線的方程，，轉(zhuǎn)化為直線與橢圓有交點(diǎn)，并且的中點(diǎn)落在切線上的問題，最后根據(jù)，求得的范圍.

解：（1）由已知得：，所以．把代入橢圓，

解得，所以，得橢圓．

把代入拋物線得，

所以拋物線．

（2）設(shè)點(diǎn)，拋物線，所以，所以切線.

設(shè)橢圓上關(guān)于l對(duì)稱的兩點(diǎn)為，.

（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線.

代入橢圓得：．

，化簡得.……（*）

，所以MN的中點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo).

要使M，N關(guān)于直線l對(duì)稱，則點(diǎn)Q在直線l上，即，

化簡得：，代入（*）式解得.

（2）當(dāng)時(shí)，顯然滿足要求.

綜上所述：，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍是.