Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且AD=2，NB=1，CD=MD=3．

（1）過(guò)B作平面BFG∥平面MNC，平面BFG與CD、DM分別交于F、G，求AF與平面MNC所成角的正弦值；
（2）E為直線(xiàn)MN上一點(diǎn)，且平面ADE⊥平面MNC，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)CF=MG=1時(shí)，平面BFG∥平面MNC．

證明：連接BF，F(xiàn)G，GB，∵BN=GM=1，BN∥GM，∴四邊形BNMG是平行四邊形，∴BG∥NM，∵CD=MD，CF=MG，∴FG∥CM，∵BG∩FG=G，∴平面BFG∥平面MNC，

以D為原點(diǎn)，DA，DC，DM所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則A（2，0，0），C（0，3，0），F(xiàn)（0，2，0），M（0，0，3），N（2，3，1），∴ =（﹣2，2，0）， =（2，3，﹣2）， =（0，3，﹣3），

設(shè)平面MNC的一個(gè)法向量 =（x，y，z），

則 令y=2，則z=2，x=﹣1，∴ =（﹣1，2，2），

設(shè)AF與平面MNC所成角為θ，則

（2）解：設(shè)E（a，b，c）， ，則 =λ ，

∵ =（a，b，c﹣3）， =（2，3，﹣2），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2λ，3λ，3﹣2λ），

∵AD⊥平面MDC，∴AD⊥MC，

欲使平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC，

∵ =（2λ﹣2，3λ，3﹣2λ）， =（0，3，﹣3），∴9λ﹣3（3﹣2λ）=0，得 ，∴ ．

【解析】（1）先分析所給的條件，進(jìn)而建立合適的空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求AF與平面MNC所成角的正弦值；（2）根據(jù)“欲使平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC”的依據(jù)是：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直.
【考點(diǎn)精析】利用平面與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知判斷兩平面平行的方法有三種:用定義；判定定理；垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行；一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直．