Question

【題目】已知函數(shù)，.

(I)若函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)且單調(diào)性相反,求的取值范圍；

(Ⅱ)若,證明:

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】分析：(I)先通過(guò)分析得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.再得到

在上恒成立，再分離參數(shù)得到,再求函數(shù)的最大值，即可求得的取值范圍. (Ⅱ)先利用函數(shù)在上單調(diào)遞增得到，再證明.再利用在上單調(diào)遞減，，再證明.

詳解：

（Ⅰ），

令

,由已知函數(shù)在上單調(diào)得:在上單調(diào)遞增，

，而，

所以得

所以在上單調(diào)遞減.

所以 在上恒成立，

即,

令

所以在上單調(diào)遞增，,

所以即上單調(diào)遞增，

（Ⅱ）在（Ⅰ）中，令在上單調(diào)遞增，

，即，

令,得，

在(I)中，令,

由在上均單調(diào)遞減得:

所以即

取得，，

即，由得：

綜上:

點(diǎn)睛:本題難在第(Ⅱ)問(wèn)，它主要是利用了第(I)的結(jié)論. 先利用函數(shù)在上單調(diào)遞增得到，再給x賦值證明.再利用在上單調(diào)遞減，，再給x賦值證明.處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要注意利用聯(lián)系的觀點(diǎn)處理問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用前面的結(jié)論處理后面的問(wèn)題.