Question

求同時(shí)滿足下列條件的所有復(fù)數(shù)z：(1)是實(shí)數(shù)，且。
(2)z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)。

Answer 1

復(fù)數(shù)z為：1±3i或3±i.

設(shè)z=a+bi (a,b∈R,且a²+b²≠0).
則

由(1)知是實(shí)數(shù)，且,
∴  即b=0或a²+b²=10.
又   *
當(dāng)b=0時(shí)，*化為無解。
當(dāng)a²+b²=10時(shí)，*化為1<2a≤6, ∴.
由(2)知 a=1,2,3.
∴ 相應(yīng)的b=±3, ±(舍)，±1，
因此，復(fù)數(shù)z為：1±3i或3±i.
此題不僅考查了復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算等，同時(shí)也考查到了方程、不等式的解法。