Question

【題目】設函數(shù)f（x）= ，其中a∈R．
（1）若a=1，f（x）的定義域為區(qū)間[0，3]，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）的定義域為區(qū)間（0，+∞），求a的取值范圍，使f（x）在定義域內是單調減函數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= = =a﹣ ，

設x1，x2∈R，則f（x1）﹣f（x2）= ﹣

= ．

當a=1時，f（x）=1﹣ ，設0≤x1＜x2≤3，

則f（x1）﹣f（x2）= ，

又x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在[0，3]上是增函數(shù)，

∴f（x）max=f（3）=1﹣ = ，f（x）min=f（0）=1﹣ =﹣1

（2）解：設x1＞x2＞0，則x1﹣x2＞0，x1+1＞0，x2+1＞0．

若使f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，只要f（x1）﹣f（x2）＜0，而f（x1）﹣f（x2）= ，

∴當a+1＜0，即a＜﹣1時，有f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2）．

∴當a＜﹣1時，f（x）在定義域（0，+∞）內是單調減函數(shù)

【解析】由于本題兩個小題都涉及到函數(shù)的單調性的判斷，故可先設x1 ， x2∈R，得到f（x1）﹣f（x2）差，將其整理成幾個因子的乘積（1）將a=1的值代入，判斷差的符號得出函數(shù)的單調性，即可確定函數(shù)在區(qū)間[0，3]的最大值，計算出結果即可（2）由于函數(shù)是定義域（0，+∞）是減函數(shù)，設x1＞x2＞0，則有f（x1）﹣f（x2）＜0，由此不等式即可得出參數(shù)的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的值域和函數(shù)單調性的性質的相關知識點，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質是相同的；函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．