Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，＝Sn＋1＋Sn.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

Answer 1

【答案】(1) ； （2）.

【解析】

（1）a＝Sn＋1＋Sn①，當(dāng)n≥2時(shí)，a＝Sn＋Sn－1②，①－②得a－a＝an＋1＋an可推出an＋1－an＝1，即可求解（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.

(1)因?yàn)閍＝Sn＋1＋Sn，①

所以當(dāng)n≥2時(shí)，a＝Sn＋Sn－1，②

①－②得a－a＝an＋1＋an，即(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an，

因?yàn)閍n>0，所以an＋1－an＝1，所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起，是公差為1的等差數(shù)列．

由①知a＝S2＋S1，因?yàn)閍1＝1，所以a2＝2，

所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2＋(n－2)×1，即an＝n.③

又因?yàn)閍1＝1也滿足③式，所以an＝n(n∈N*)．

(2)由(1)得＝(2n－1)·2n，Tn＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，④

2Tn＝22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，⑤

④－⑤得－Tn＝2＋2×22＋…＋2×2n－(2n－1)·2n＋1，

所以－Tn＝2＋－(2n－1)·2n＋1，

故Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.