Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（Ⅰ）選修4-2：矩陣與變換，
已知矩陣A=

0 1 a 0

，矩陣B=

0 2 b 0

，直線l1：x-y+4=0經矩陣A所對應的變換得直線l₂，直線l₂又經矩陣B所對應的變換得到直線l₃：x+y+4=0，求直線l₂的方程．
（Ⅱ）選修4-4：坐標系與參數方程，
求直線

x=-2+2t y=-2t

被曲線

x=1+4cosθ y=-1+4sinθ

截得的弦長．
（Ⅲ）選修4-5：不等式選講，解不等式|x+1|+|2x-4|＞6．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據條件，可以求出矩陣A，B，從而可得變換公式，這樣就可以求出直線l₂的方程．
（Ⅱ）曲線是圓，直線被圓截得的弦長，通常求出弦心距，利用勾股定理可求解；
（Ⅲ）將絕對值符號去掉，轉化為一次不等式求解即可．

解答：（Ⅰ）解：BA=

0 2 b 0

0 1 a 0

=

2a 0 0 b

∴l(xiāng)₁變換到l₃的變換公式為

x′=2ax y′=by

∴2ax+by+4=0即直線l₁：x-y+4=0，則有

2a=1 b=-1

，∴a=

1

2

，b=-1
∴A=

0 1 1 2 0

，B=

0 2 -1 0

∴l(xiāng)₁變換到l₂的變換公式為

x′=y y′= 1 2 x

，∴

x=2y′ y=x′

∵直線l₁：x-y+4=0，
∴l(xiāng)₂：2y′-x′+4=0
即x-2y-4=0
（Ⅱ）解：直線

x=-2+2t y=-2t

的普通方程為：x+y+2=0…（2分）
曲線

x=1+4cosθ y=-1+4sinθ

，即圓心為（1，-1），半徑為4的圓  …（4分）
則圓心（1，-1）到直線x+y+2=0的距離d=

|1-1+2|

12+12

=

2

…（5分）
設直線被曲線截得的弦長為t，則t=2

42-( 2

)2=2

14

，
∴直線被曲線截得的弦長為2

14

…（7分）
（Ⅲ）解：將絕對值符號去掉，進行分類討論

x≥2 x+1+2x-4＞6

或

-1＜x＜2 x+1-2x+4＞6

或

x≤-1 -x-1-2x+4＞6

…（3分）
∴x＞3或x∈∅或x＜-1…（6分）
∴x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）…（7分）

點評：高考中的選做題，通常是選取兩道題，矩陣問題涉及到矩陣的變換，參數方程問題要消參，不等式問題要學會轉化．