Question

【題目】已知二次函數(shù)的對稱軸為，.

（1）求函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)的值；

（2）試確定的取值范圍，使至少有一個(gè)實(shí)根；

（3）當(dāng)時(shí)，，對任意有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），此時(shí)；（2）的取值范圍為；（3）實(shí)數(shù)的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）利用基本不等式易得，此時(shí).（2）至少有一個(gè)實(shí)根，即與的圖象在上至少有一個(gè)交點(diǎn)，由題意，可得，，則需即可；（3）由題意，可得，對任意有恒成立，即，令，，∴，∴，

令，討論函數(shù)的單調(diào)性，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）∵，∴，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“=”成立，即，此時(shí).

（2）的對稱軸為，∴，∴，

至少有一個(gè)實(shí)根，∴至少有一個(gè)實(shí)根，

即與的圖象在上至少有一個(gè)交點(diǎn)，

，∴，，

∴，∴，∴的取值范圍為.

（3）∵，∴，

∴對任意有恒成立，∴，

令，，∴，∴，

令，設(shè)為上任意兩不等實(shí)數(shù)，且，

∴，

∵，∴，，∴，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，∴.

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.