Question

【題目】已知cos（π+α）= ，且 ＜α＜π．
（Ⅰ）求5sin（α+π）﹣4tan（3π﹣α）的值
（Ⅱ）若0＜β＜ ，cos（β﹣α）= ，求sin（ +2β）的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵cos（π+α）= =﹣cosα，且 ＜α＜π，

∴cosα=﹣ ，sinα= = ，tanα=﹣ ，

∴5sin（α+π）﹣4tan（3π﹣α）=﹣5sinα+4tanα=（﹣5）× +4×（﹣ ）=﹣6．

（Ⅱ）∵0＜β＜ ，cos（β﹣α）= ，

∴﹣π＜β﹣α＜0，可得：sin（β﹣α）=﹣ =﹣ ，

∴cosβ=cos[（β﹣α）+α]=cos（β﹣α）cosα﹣sin（β﹣α）sinα= ×（﹣ ）﹣（﹣ ）× =

∴sin（ +2β）=cos2β=2cos2β﹣1=﹣ ．

【解析】（1）由已知利用誘導(dǎo)公式，通宵三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得cosα，sinα，tanα，由誘導(dǎo)公式化簡即可計(jì)算出結(jié)果，（2）利用角的范圍及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得sin（β-α）的值，利用兩角和的余弦函數(shù)公式可得cosβ=cos[（β﹣α）+α]的值，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解.