Question

如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)P是拋物線C₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線C₁的方程及其準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作拋物線C₂的兩條切線，M、N分別為兩個(gè)切點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線MN的距離為d，求d的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意拋物線C₁的焦點(diǎn)為拋物線C₂的頂點(diǎn)（0，1），由此算出p=2，從而得到拋物線C₁的方程，得到C₁的準(zhǔn)線方程；
（II）設(shè)P（2t，t²），，，用直線方程的點(diǎn)斜式列出直線PM方程并將點(diǎn)P坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)可得，同理得到．然后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，算出x₁+x₂=4t，x₁x₂=2t²-2，將直線MN的兩點(diǎn)式方程化簡(jiǎn)并代入前面算出的式可得MN的方程為y=2tx+2-t²．最后利用點(diǎn)到直線的距離公式列式，采用換元法并且運(yùn)用基本不等式求最值，即可算出P到直線MN的距離d的最小值為．
解答：解：（Ⅰ）∵拋物線C₁的方程為x²=2py，∴拋物線的焦點(diǎn)為，…（2分）
∵拋物線的焦點(diǎn)在拋物線C₂上
∴，可得p=2．…（4分）
故拋物線C₁的方程為x²=4y，其準(zhǔn)線方程為y=-1．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)P（2t，t²），，，
可得PM的方程：，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得，即．
同理可得PN：，得．…（8分）
由得x₁、x₂是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=4t，x₁x₂=2t²-2．…（*）
∵M(jìn)N的方程：，
∴化簡(jiǎn)整理，得
代入（*）式，可得MN的方程為y=2tx+2-t²．…（12分）
于是，點(diǎn)P到直線MN的距離．
令s=1+4t²（s≥1），則（當(dāng)s=3時(shí)取等號(hào)）．
由此可得，當(dāng)P坐標(biāo)為（，）時(shí)，點(diǎn)P到直線MN的距離d的最小值為．…（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線C₁的焦點(diǎn)為拋物線C₂的頂點(diǎn)，求拋物線C₁的方程并討論過(guò)拋物線C₁上動(dòng)點(diǎn)P作拋物線C₂的兩條切線的問(wèn)題．著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．