【題目】如圖,從一個面積為的半圓形鐵皮上截取兩個高度均為的矩形,并將截得的兩塊矩形鐵皮分別以,為母線卷成兩個高均為的圓柱(無底面,連接部分材料損失忽略不計).記這兩個圓柱的體積之和為

(1)將表示成的函數(shù)關(guān)系式,并寫出的取值范圍;

(2)求兩個圓柱體積之和的最大值.

【答案】(1).(2)

【解析】

(1)設(shè)半圓形鐵皮的半徑為r,自下而上兩個矩形卷成的圓柱的底面半徑分別為r1,r2,寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系,并寫出x的取值范圍;

(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷Vx)的單調(diào)性,得出Vx)的最大值.

(1)設(shè)半圓形鐵皮的半徑為,自下而上兩個矩形卷成的圓柱的底面半徑分別為

因為半圓形鐵皮的面積為,所以,即

因為,所以,

同理,即

所以卷成的兩個圓柱的體積之和

因為,所以的取值范圍是

(2)由,得,

,因為,故

當(dāng)時,;當(dāng)時, ,

所以上為增函數(shù),在上為減函數(shù),

所以當(dāng)時,取得極大值,也是最大值.

因此的最大值為

答:兩個圓柱體積之和的最大值為

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