【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，左右兩頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，滿足直線的斜率之積為，且的最大值為4.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，連接點(diǎn)并延長(zhǎng)，交軌跡于一點(diǎn).求證：.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）因?yàn)?/span>的最大值為4，根據(jù)橢圓的定義，利用基本不等式求得，再根據(jù)直線的斜率之積為，有，求得，寫出橢圓方程.

（2）由條件知，設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消得，設(shè)，則.

由根與系數(shù)的關(guān)系得，.，設(shè)直線的方程為，

所以，得，因?yàn)橐C.根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，只要證得點(diǎn)與 關(guān)于x軸對(duì)稱， 即.

（1）根據(jù)題意，

又設(shè)，所以，所以，

故，從而橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）根據(jù)題意，，所以設(shè)直線的方程，

聯(lián)立，消得，

，即.

設(shè)，則.

由根與系數(shù)的關(guān)系得，.

設(shè)直線的方程為，

所以，得，

所以

所以

.

所以

故，

所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著新課程改革和高考綜合改革的實(shí)施，高中教學(xué)以發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)更關(guān)注學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．為此，我市于2018年舉行第一屆高中文科素養(yǎng)競(jìng)賽，競(jìng)賽結(jié)束后，為了評(píng)估我市高中學(xué)生的文科素養(yǎng)，從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1000名學(xué)生的成績(jī)（單位：分）作為樣本進(jìn)行估計(jì)，將抽取的成績(jī)整理后分成五組，從左到右依次記為，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）請(qǐng)補(bǔ)全頻率分布直方圖并估計(jì)這1000名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）采用分層抽樣的方法從這1000名學(xué)生的成績(jī)中抽取容量為40的樣本，再?gòu)脑摌颖境煽?jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求至少有一名學(xué)生成績(jī)不低于90分的概率；

（3）我市決定對(duì)本次競(jìng)賽成績(jī)排在前180名的學(xué)生給予表彰，授予“文科素養(yǎng)優(yōu)秀標(biāo)兵”稱號(hào)．一名學(xué)生本次競(jìng)賽成績(jī)?yōu)?9分，請(qǐng)你判斷該學(xué)生能否被授予“文科素養(yǎng)優(yōu)秀標(biāo)兵”稱號(hào)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為實(shí)現(xiàn)有效利用扶貧資金，增加貧困村民的收入，扶貧工作組結(jié)合某貧困村水質(zhì)優(yōu)良的特點(diǎn)，決定利用扶貧資金從外地購(gòu)買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進(jìn)行養(yǎng)殖試驗(yàn)，試驗(yàn)后選擇其中一種進(jìn)行大面積養(yǎng)殖，已知魚苗甲的自然成活率為0.8.魚苗乙，丙的自然成活率均為0.9，且甲、乙、丙三種魚苗是否成活相互獨(dú)立.

（1）試驗(yàn)時(shí)從甲、乙，丙三種魚苗中各取一尾，記自然成活的尾數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗較好，扶貧工作組決定購(gòu)買尾乙種魚苗進(jìn)行大面積養(yǎng)殖，為提高魚苗的成活率，工作組采取增氧措施，該措施實(shí)施對(duì)能夠自然成活的魚苗不產(chǎn)生影響.使不能自然成活的魚苗的成活率提高了50%.若每尾乙種魚苗最終成活后可獲利10元，不成活則虧損2元，且扶貧工作組的扶貧目標(biāo)是獲利不低于37.6萬(wàn)元，問(wèn)需至少購(gòu)買多少尾乙種魚苗？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，過(guò)分別作曲線與的切線，且與關(guān)于軸對(duì)稱，求證: .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，左右兩頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，滿足直線的斜率之積為，且的最大值為4.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為兩點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．

（1）求線段AF的中點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）已知△AOB的面積是△BOF面積的3倍，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有極值點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在區(qū)間的最大值為且最小值為，求的取值范圍.

參考數(shù)據(jù)：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某醫(yī)科大學(xué)實(shí)習(xí)小組為研究實(shí)習(xí)地晝夜溫差與患感冒人數(shù)之間的關(guān)系，分別到當(dāng)?shù)貧庀蟛块T和某醫(yī)院抄錄了1月份至3月份每月5日、20日的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如表資料：

日期

1月5日

1月20日

2月5日

2月20日

3月5日

3月20日

晝夜溫差（）

10

11

13

12

8

6

就診人數(shù)（人）

22

25

29

26

16

12

該小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩余的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

（1）求剩余的2組數(shù)據(jù)中至少有一組是20日的概率；

（2）若選取的是1月20日，2月5日，2月20日，3月5日四組數(shù)據(jù).

①請(qǐng)根據(jù)這四組數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程（，用分?jǐn)?shù)表示）；

②若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩余的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)1人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問(wèn)①中所得線性回歸方程是否理想？

附參考公式：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求的極大值點(diǎn)；

（2）若函數(shù)，判斷的單調(diào)性；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.

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