Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）時(shí)，求在處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若，求證：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）將代入，求導(dǎo)即得；（Ⅱ），即在上恒成立. 不等式恒成立的問題，一般有以下兩種考慮，一是分離參數(shù)，二是直接求最值.在本題中，設(shè)，則，這里面不含參數(shù)了，求的最大值比較容易了，所可直接求最大值.（Ⅲ）本題首先要考慮的是，所要證的不等式與函數(shù)有什么關(guān)系？待證不等式可作如下變形：
，最后這個(gè)不等式與有聯(lián)系嗎？我們再往下看.
,所以在上是增函數(shù).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031645924670.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
即從這兒可以看出，有點(diǎn)聯(lián)系了.
同理，
所以，
與待證不等式比較，只要問題就解決了，而這由重要不等式可證，從而問題得證.
試題解析：（Ⅰ），，所以切線為：即.         3分
（Ⅱ）,，即在上恒成立
設(shè)，，時(shí)，單調(diào)減，單調(diào)增，
所以時(shí)，有最大值.，
所以.         8分
法二、可化為.
令，則，所以
所以.
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，,,所以在上是增函數(shù)，上是減函數(shù).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031645924670.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
即，同理.
所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031646017739.png" style="vertical-align:middle;" />當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，取等號(hào).
又，,
所以，所以，
所以：.         14分